2025年5月22日，人工智能系列读书班活动迎来了2025年第13场报告会，张晓亮博士做了“Hilbert空间”报告会，分别讲授了线性空间（向量空间）定义（加法运算，数乘运算）、内积空间的定义（共轭对称性，线性性，正定性），距离空间（非负，对称，三角不等式），距离空间的完备（空间中所有基本列都是收敛列），Hilbert空间（完备的内积空间）等。
图1 张晓亮博士主持“Hilbert空间”讨论会
张晓亮博士通过多个实例，说明了Rn、Cn、序列空间（x1,x2,...,xn,...，xn是实数或者平方可和）、平方可积函数空间等，都是Hilbert空间等。
讨论会中，大家集中讨论了希尔伯特空间中的点的概念，内积与距离，完备性（任何柯西序列的点都收敛于空间内的某个点，这是Hilbert空间区别于一般内积空间的关键），与巴拿赫空间的对比（Hilbert空间是特殊的巴拿赫空间，其范数由内积诱导；巴拿赫空间的点可能没有内积结构，因此无法定义角度或正交性）。
希尔伯特空间的“点”是广义的向量或函数，其核心特征是通过内积和完备性实现几何与分析的统一，广泛应用于数学、物理及工程领域等。
最后，大家又集中讨论了再生核希尔伯特空间RKHS在机器学习中的一些典型的应用，包括非线性数据映射与分类（核技巧Kernel Trick，核映射），概率分布嵌入与统计推断（希尔伯特空间嵌入），希尔伯特黄变换HHT等，将再举行一次RKHS的讨论班。
（总结：沈来信教授）