2025年5月22日,人工智能系列读书班活动迎来了2025年第13场报告会,张晓亮博士做了“Hilbert空间”报告会,分别讲授了线性空间(向量空间)定义(加法运算,数乘运算)、内积空间的定义(共轭对称性,线性性,正定性),距离空间(非负,对称,三角不等式),距离空间的完备(空间中所有基本列都是收敛列),Hilbert空间(完备的内积空间)等。
图1 张晓亮博士主持“Hilbert空间”讨论会
张晓亮博士通过多个实例,说明了Rn、Cn、序列空间(x1,x2,...,xn,...,xn是实数或者平方可和)、平方可积函数空间等,都是Hilbert空间等。
讨论会中,大家集中讨论了希尔伯特空间中的点的概念,内积与距离,完备性(任何柯西序列的点都收敛于空间内的某个点,这是Hilbert空间区别于一般内积空间的关键),与巴拿赫空间的对比(Hilbert空间是特殊的巴拿赫空间,其范数由内积诱导;巴拿赫空间的点可能没有内积结构,因此无法定义角度或正交性)。
希尔伯特空间的“点”是广义的向量或函数,其核心特征是通过内积和完备性实现几何与分析的统一,广泛应用于数学、物理及工程领域等。
最后,大家又集中讨论了再生核希尔伯特空间RKHS在机器学习中的一些典型的应用,包括非线性数据映射与分类(核技巧Kernel Trick,核映射),概率分布嵌入与统计推断(希尔伯特空间嵌入),希尔伯特黄变换HHT等,将再举行一次RKHS的讨论班。
(总结:沈来信教授)